Алгебра. 6 класс

Натуральные числа и число нуль

Натуральные числа используются для счета предметов
Ряд натуральных чисел бесконечен

Разрядное место

Любое натуральное число - сумма разрядных единиц

Числовые выражения

Выражения, которые состоят только из чисел и знаков арифметических действий

Буквенные выражения

Выражения, которые состоят из чисел, букв и знаков арифметических действий

Переменная

Буква в буквенном выражении
Подстановка значений вместо букв

Арифметические операции

Сумма, разность, умножение, деление и их элементы

Раскрытие скобок

Упрощение буквенных выражений

Распределительный закон Переместительный закон

Коэффициент

Число, стоящее перед буквой в буквенном выражении

Уравнение

Обозначением неизвестного, которое нужно найти, обычно является X
X, который нужно найти в уравнении, называется его решением (или корнем)
Решением уравнения называется то значение переменной, которое при подстановке в первоначальное уравнение превращает его в верное числовое равенство

Использование законов сложения, вычитания, умножения и деления при решении уравнений

$45:(4m-m)=3$ где $4m-m$ - делитель

Ассоциативный ряд

Формулы

Правила, записываемые математическим языком
Формулы периметров, площадей

Числовые последовательности

Числовой ряд
Закономерность
Отношения между соседними числами
Выражение последовательности через формулу

Делители и кратные чисел

Делитель числа - число, на которое делимое делится без остатка
$D(24) = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\}$

Делитель - число, на которое другое число делится без остатка
Кратное - число, которое делится на данное число без остатка
Делителей - конечное множество
Кратных - бесконечное множество

Простые и составные числа

Числа, которые имеют только два делителя (единица и само число), называются простыми
Числа, которые имеют более двух делителей, называются составными
Единица не является ни простым, ни составным
Таблица простых чисел

Основные свойства делимости

Произведение двух чисел делится на число в том случае, если один из множителей делится на это число
Сумма/разность двух чисел делится на число в том случае, если оба слагаемых (или уменьшаемое и вычитаемое) делятся на это число

Четные и нечетные числа

Если последняя цифра числа 0,2,4,6,8, тогда четное
Если последняя цифра числа 1,3,5,7,9, тогда нечетное

Признаки делимости чисел на 2, 5, 10

Если число четное, тогда оно делится на 2
Если последняя цифра числа 5 или 0, тогда это число делится на 5
Если последняя цифра числа 0, тогда это число делится на 10

Признаки делимости натуральных чисел на 3, 9

Если сумма цифр числа делится на 3, тогда это число делится на 3
Если сумма цифр числа делится на 9, тогда это число делится на 9

Признаки делимости натуральных чисел на 6, 15, 45

Сводится к одновременной проверке нескольких признаков Если число делится и на 2, и на 3, тогда это число делится на 6
Если число делится и на 3, и на 5, тогда это число делится на 15
Если число делится и на 5, и на 9, тогда это число делится на 45

Степень числа

Степенью числа с натуральным показателем называют результат умножения числа на себя n раз.
$a^n = a * a * a... * a$
a - основание степени, n - показатель степени

Когда показатель степени равен 2, это называется квадратом числа
Когда показатель степени равен 3, это называется кубом числа
Перевод числа в 10 в степени n (количество нулей)

Разложение составных чисел на простые множители

Алгоритм разложения на простые множители (начинать с самого маленького простого числа)

Наибольший общий делитель (НОД)

НОД - наибольшее число, на которое делятся n чисел (n>2)
Разложить каждое число на простые множители и найти наибольший общий

Наименьшее общее кратное (НОК)

НОК - наименьшее число, которое делится на n чисел (n > 2)
Ряд кратных чисел бесконечен
Разложить каждое число на простые множители и зачеркнуть общие, после чего взять наибольшее число (можно и наименьшее, без разницы) и домножить его на оставшиеся простые множители других чисел

Обыкновенная дробь

Дробная черта, числитель, знаменатель
Если целое делим на части, тогда обязательно части должны быть равными

Основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель дроби умножить/разделить на одно и то же число, тогда получится дробь, равная данной
Сокращение дроби
При сокращении дроби желательно использовать наибольший общий делитель (НОД)

Правильные и неправильные дроби

Дробь называется правильной, если ее числитель меньше знаменателя
Дробь называется неправильной, если ее числитель равен знаменателю или больше него

Смешанные числа

Дробь, состоящая из целой части и дробной части, называется смешанным числом

Изображение обыкновенных дробей на координатном луче

Приведение обыкновенных дробей к наименьшему общему знаменателю (НОЗ)

НОЗ = НОК

Приведение смешанных чисел к наименьшему общему знаменателю (НОЗ)

Сравнение обыкновенных дробей

Если знаменатели равны, то дробь больше та, у которой числитель больше
Если числители равны, то дробь больше та, у которой знаменатель меньше
Если числители и знаменатели разные, нужно привести дроби к общему знаменателю и сравнить их числители

Сравнение смешанных чисел

Если целые части разные, тогда сравнить целые части
Если целые части равны, тогда сравнить дробные части

Сложение дробей и смешанных чисел

Если знаменатели равны, то необходимо сложить числители, и знаменатель оставить тем же
Если знаменатели разные, то необходимо привести дроби к НОЗ и сложить числители, знаменатель оставить тем же
Для смешанных чисел целые части просто складываем, для дробных частей - используем два предыдущих способа

Вычитание дробей и смешанных чисел

Если знаменатели равны, то необходимо вычесть из одного числителя другой, и знаменатель оставить тем же
Если знаменатели разные, то необходимо привести дроби к НОЗ и вычесть из одного числителя другой, знаменатель оставить тем же
Для смешанных чисел целую часть частично можно представить в виде дробной

Умножение дробей и смешанных чисел

Необходимо умножить числитель на числитель, знаменатель на знаменатель (сократить можно до и после в зависимости от ситуации)
Смешанные числа перед умножением необходимо перевести в неправильные дроби и умножить согласно правилу умножения дробей

Деление дробей и смешанных чисел

Знак деления можно поменять на умножение и перевернуть дробь (число, обратное данному)
Смешанные числа перед делением необходимо перевести в неправильные дроби, перевернуть вторую дробь и умножить согласно правилу умножения дробей
Для умножения и деления алгоритм одинаков: перевести в неправильные дроби -> заменить знак деления на умножение -> перевернуть вторую дробь -> умножить

Взаимно-обратные числа

Если произведение двух чисел равно 1, тогда такие числа называются взаимно-обратными

Свойства арифметических действий

Сочетательное свойство (ассоциативность)
Переместительное свойство (коммутативность)
Распределительное свойство (дистрибутивность)
Способ сложения Гаусса
$(1 + N) * (N / 2)$
Количество слагаемых должно быть чётным. Если чисел нечётное количество, среднее число учитывают отдельно.

Задачи на совместную работу

Десятичные дроби

Перед записью смешанного числа в десятичном виде необходимо перевести его в неправильную дробь

Перевод обыкновенной дроби в десятичную

Для перевода обыкновенной дроби в десятичную знаменатель должен быть равен 10, 100, 1000 и т.д., следовательно необходимо сократить или “догнать” число в знаменателе до необходимого (при возможности)

Сравнение десятичных дробей

Сначала числа (цифры поразрядно) целой части, потом числа (цифры поразрядно) в десятичной доли

Изображение десятичных дробей на координатном луче

Сложение и вычитание десятичных дробей

Запятая под запятой -> уравнять количество цифр после запятой -> сложить -> запятую оставить

Умножение десятичной дроби на натуральное число

Умножить (например, столбиком), не обращая внимания на запятую -> справа налево отделить столько цифр, сколько их после запятой в дроби

Умножение десятичных дробей

Умножить (например, столбиком), не обращая внимания на запятую -> справа налево отделить столько цифр, сколько их после запятой в обеих дробях

Деление десятичных дробей на натуральное число

(Менее предпочтительный способ) Перевести десятичную дробь и число в обыкновенные неправильные дроби и выполнить деление дробей, затем домножить знаменатель до десятичного вида и снова перевести дробь в десятичную
(Более предпочтительный способ) Разделить столбиком целую часть на делитель -> после окончания целой части поставить запятую -> делить десятичную долю, дописывая нули к остатку, пока не поделится без остатка

Деление десятичной дроби на десятичную дробь

Посчитать знаки после запятой в делителе -> перенесите запятую вправо на это же число знаков в делимом и делителе, чтобы делитель стал целым числом -> разделить полученное число на натуральное число

Деление натурального числа на десятичную дробь

Посчитать знаки после запятой в делителе -> перенесите запятую вправо на это же число знаков в делимом (представив, что запятая стоит, дописывать нули) и делителе, чтобы делитель стал целым числом -> разделить полученное число на натуральное число

Доумножение числителя и знаменателя на 10, 100, 1000… для сокращения и упрощения вычислений или избавления от десятичных дробей

Умножение и деление десятичной дроби на 10, 100, 1000… и на 0.1, 0.01…

Сдвиг запятой вправо или влево

Округление десятичных дробей

Точное и приближенное значения
Если отброшенная цифра 0,1,2,3,4, тогда цифра перед ней не изменяется
Если отброшенная цифра 5,6,7,8,9, тогда цифра перед ней увеличивается на 1
Округление до десятых, сотых, тысячных и т.д.

Нахождение дроби от числа

Нахождение числа по дроби

Числовые последовательности из дробей

Множество. Элементы множества

Множество - совокупность элементов, связанных общим признаком
Обозначается заглавной латинской буквой
$A = \{r, k, m, n\}$
$N = \{1, 2, 3, 4,...\}$
$r \in A$
$0,13 \notin N$
Множества бывают конечными и бесконечными
Количество элементов - мощность множества
$N = \{1, 2, 3, 4, 5\}$
$n(C) = 5$

Подмножество

$A = \{1, 2, 3, 4\}$
$B = \{3, 4\}$
Множество B является подмножеством множества A, потому что все элементы, которые содержатся в множестве B, содержатся в множестве A
$B ⊆ A$

Пересечение множеств (И). Объединение множеств (ИЛИ)

$A = \{2, 3, 4\}$
$B = \{3, 4, 5, 6\}$
$C = \{7, 8, 9\}$
$A \cap B = \{3, 4\}$
$B \cap C = \varnothing$
$A \cup B = \{2, 3, 4, 5, 6 \}$
Объединение множеств - это новое множество, которое включает в себя все элементы из исходных множеств
Пересечение множеств - это новое множество, которое состоит только из тех элементов, которые входят одновременно в каждое из исходных множеств

Проценты

Процент - одна сотая часть чего либо

\frac{1}{100} = 1\%